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Quanto derivados e gerenciamento de risco FX.
Vamos assumir que temos um ativo estrangeiro com volatilidade $ \ sigma_ $. Agora, eu sei que ao avaliar isso sob a medida estrangeira, preciso fazer um ajuste de deriva, ou seja, $ \ sigma_ ^ 2 = \ sigma_ ^ 2 + \ sigma_ ^ 2 +2 \ rho \ sigma_ \ sigma_ $.
Por outro lado, eu sei que isso pode ser coberto pela FX. Minha pergunta é, o que acontece com essa volatilidade quando eu hedge continuamente?
O meu pensamento é que qualquer coisa a ver com o FX deve ser removida, mas não posso simplesmente fazer isso.
Editar: ainda esclareço o que estou procurando. Ao tentar encontrar a volatilidade de um ativo coberto (coberto contra o FX), eu determino a volatilidade ao analisar a recompensa em unidades domésticas. Ou seja, $ S_T X_T + \ sum_ ^ N S_> (F_, t_i> ^ X-X_) $, onde $ N $ é o número de hedges, que $ t_N = T $ e $ T $ são o prazo de vencimento.
Eu venho com uma volatilidade usando o momento correspondente (o que parece realmente bagunçado, então não vou postar aqui, a menos que seja necessário). Agora eu estou olhando para o que acontece quando os incrementos entre as sebes diminuem. Ou seja, $ N \ rightarrow \ infty $ e $ t_i-t_ \ rightarrow 0 $. O que eu acho que pode acontecer é como descrito acima, onde qualquer coisa para fazer com o FX é mais longe da volatilidade. No entanto, isso não parece ser o caso com a volatilidade que tenho. A minha abordagem é inválida?
Quando você está se protegendo através do FX, há dois fatores que influenciam o impacto que a moeda terá na carteira: a volatilidade da moeda em relação à do ativo subjacente e a interação entre a moeda e o ativo subjacente. Quanto maior o índice de volatilidade (volatilidade em moeda estrangeira / ativos de volatilidade), maior o impacto da exposição em moeda estrangeira na volatilidade da carteira. Quanto menor o índice de volatilidade, mais importante será a correlação da moeda do ativo na determinação do risco da carteira resultado. É o efeito líquido das duas influências que determina se o risco total de carteira é aumentado ou diminuído ao proteger a exposição cambial estrangeira.
Bem, sim, isso vem da interpretação de um preço de opção como a doação inicial de um portfólio de replicação perfeito. Aqui, a replicação consiste em manter uma carteira auto-financiadora de ações + títulos estrangeiros / domésticos, onde um dinamicamente re-equilibra o delta continuamente (assumindo que todas as suposições usuais são válidas: ou seja, nenhuma transação consta, etc.).
Eu recomendo que você leia a seção 3.2 deste documento. A cobertura das opções quanto é especificamente discutida na seção 3.2.4. A interpretação da estratégia de hedge p.33 é o que importa para você.
Considere um patrimônio subjacente a $ S_t $ denominado em moeda estrangeira.
Considere a taxa de câmbio FOR / DOM $ X_t $, que é o preço no tempo $ t $ de uma unidade de moeda estrangeira expressa em moeda nacional. A taxa de câmbio DOM / FOR em $ t $ obviamente é dada por $ Y_t = (X_t) ^ $.
Suponha que ambos $ S_t $ e $ Y_t $ sejam lognormal sob a medida estrangeira neutra de risco $ \ mathbb ^ f $, com uma correlação linear $ \ rho $ entre os movimentos Brownian de condução $$ S_t ^ f \ sim GBM (r ^ f, \ sigma_) \ iff S_t ^ f \ sim N (\ ln (F (0, t)) - \ frac \ sigma_ ^ 2 t, \ sigma_ ^ 2 t) $$ $$ Y_t \ sim GBM (r ^ f - r ^ d, \ sigma) \ iff Y_t \ sim N (\ ln (F ^ Y (0, t)) - \ frac \ sigma ^ 2 t, \ sigma ^ 2 t) $$ onde $ F (0 , t) $ indica a equivalência patrimonial na medida estrangeira neutra ao risco e $ F ^ Y (0, t) $ a taxa de câmbio DOM / FOR adiante.
Do acima, o preço do patrimônio líquido expresso em unidades de moeda doméstica, ou seja, $ S_t X_t $, é de fato uma variável aleatória log-normalmente distribuída com variância: $$ (\ sigma_ ^ 2 + \ sigma ^ 2 + 2 \ rho \ sigma_ \ sigma) t $$ isto é porque $ S_t X_t $ é o produto de 2 variáveis ​​log-normal correlacionadas (ou seja, o log de $ S_t X_t $ é uma soma de duas variáveis ​​normais correlacionadas. Para ver que $ X_t $ é de forma verdadeiramente distribuída, você pode querer aplicar o lema de Itô para $ X_t = 1 / Y_t $).
Agora, embora isso seja verdade, não acho que seja útil para o que você está tentando provar, especialmente porque você está lidando com opções quanto com funções de recompensa: $$ \ phi (S_T) = f (S_T), \ texto X ^ (S_T-K) ^ + $$ onde $ X ^ $ é uma constante (geralmente $ X ^ = 1 $) e não compo opções com funções de recompensa: $$ \ phi (S_T, X_T) = f (S_T X_T), \ text (S_T X_T - K) ^ + $$
Quando você olha para uma opção quanto, existem 2 coisas que importam:
Por construção, o preço de uma opção quanto não depende da taxa de câmbio. O delta de uma opção quanto incorpora naturalmente o risco FX. Isso ocorre porque, embora sua opção pague na moeda do DOM (daí um delta em unidades DOM), você se protege ao comprar ações do subjacente estrangeiro (portanto, em unidades FOR). Portanto, embora você tenha uma nocional constante em unidades de DOM, seu delta nocional em unidades FOR muda constantemente devido às flutuações da taxa de câmbio.

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The Pianoforte: Sydney's Piano Experts.
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